Matemática discreta Ejemplos

$12 = 3 u - 2 v$ , $8 = 7 u + 2 v$

Paso 1

Resuelve $u$ en $12 = 3 u - 2 v$ .

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $3 u - 2 v = 12$ .

$3 u - 2 v = 12$

$8 = 7 u + 2 v$

Paso 1.2

Suma $2 v$ a ambos lados de la ecuación.

$3 u = 12 + 2 v$

$8 = 7 u + 2 v$

Paso 1.3

Divide cada término en $3 u = 12 + 2 v$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.3.1

Divide cada término en $3 u = 12 + 2 v$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{12}{3} + \frac{2 v}{3}$

$8 = 7 u + 2 v$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 u}{3} = \frac{12}{3} + \frac{2 v}{3}$

$8 = 7 u + 2 v$

Paso 1.3.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{12}{3} + \frac{2 v}{3}$

$8 = 7 u + 2 v$

$u = \frac{12}{3} + \frac{2 v}{3}$

$8 = 7 u + 2 v$

$u = \frac{12}{3} + \frac{2 v}{3}$

$8 = 7 u + 2 v$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Divide $12$ por $3$ .

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$8 = 7 u + 2 v$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$8 = 7 u + 2 v$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$8 = 7 u + 2 v$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$8 = 7 u + 2 v$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $u$ por $4 + \frac{2 v}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $u$ en $8 = 7 u + 2 v$ por $4 + \frac{2 v}{3}$ .

$8 = 7 (4 + \frac{2 v}{3}) + 2 v$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica $7 (4 + \frac{2 v}{3}) + 2 v$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 = 7 \cdot 4 + 7 (\frac{2 v}{3}) + 2 v$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $7$ por $4$ .

$8 = 28 + 7 (\frac{2 v}{3}) + 2 v$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $7 \frac{2 v}{3}$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Combina $7$ y $\frac{2 v}{3}$ .

$8 = 28 + \frac{7 (2 v)}{3} + 2 v$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$8 = 28 + \frac{14 v}{3} + 2 v$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$8 = 28 + \frac{14 v}{3} + 2 v$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$8 = 28 + \frac{14 v}{3} + 2 v$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $2 v$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$8 = 28 + \frac{14 v}{3} + 2 v \cdot \frac{3}{3}$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $2 v$ y $\frac{3}{3}$ .

$8 = 28 + \frac{14 v}{3} + \frac{2 v \cdot 3}{3}$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 = 28 + \frac{14 v + 2 v \cdot 3}{3}$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$8 = 28 + \frac{14 v + 2 v \cdot 3}{3}$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.4.1

Factoriza $2 v$ de $14 v + 2 v \cdot 3$ .

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Paso 2.2.1.4.1.1

Factoriza $2 v$ de $14 v$ .

$8 = 28 + \frac{2 v (7) + 2 v \cdot 3}{3}$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 2.2.1.4.1.2

Factoriza $2 v$ de $2 v \cdot 3$ .

$8 = 28 + \frac{2 v (7) + 2 v (3)}{3}$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 2.2.1.4.1.3

Factoriza $2 v$ de $2 v (7) + 2 v (3)$ .

$8 = 28 + \frac{2 v (7 + 3)}{3}$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$8 = 28 + \frac{2 v (7 + 3)}{3}$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 2.2.1.4.2

Suma $7$ y $3$ .

$8 = 28 + \frac{2 v \cdot 10}{3}$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 2.2.1.4.3

Multiplica $10$ por $2$ .

$8 = 28 + \frac{20 v}{3}$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$8 = 28 + \frac{20 v}{3}$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$8 = 28 + \frac{20 v}{3}$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$8 = 28 + \frac{20 v}{3}$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$8 = 28 + \frac{20 v}{3}$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 3

Resuelve $v$ en $8 = 28 + \frac{20 v}{3}$ .

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $28 + \frac{20 v}{3} = 8$ .

$28 + \frac{20 v}{3} = 8$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $v$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $28$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{20 v}{3} = 8 - 28$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 3.2.2

Resta $28$ de $8$ .

$\frac{20 v}{3} = - 20$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$\frac{20 v}{3} = - 20$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 3.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{20}$ .

$\frac{3}{20} \cdot \frac{20 v}{3} = \frac{3}{20} \cdot - 20$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 3.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1.1

Simplifica $\frac{3}{20} \cdot \frac{20 v}{3}$ .

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Paso 3.4.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{20} \cdot \frac{20 v}{3} = \frac{3}{20} \cdot - 20$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 3.4.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{20} \cdot (20 v) = \frac{3}{20} \cdot - 20$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$\frac{1}{20} \cdot (20 v) = \frac{3}{20} \cdot - 20$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 3.4.1.1.2

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 3.4.1.1.2.1

Factoriza $20$ de $20 v$ .

$\frac{1}{20} \cdot (20 (v)) = \frac{3}{20} \cdot - 20$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 3.4.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{20} \cdot (20 v) = \frac{3}{20} \cdot - 20$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 3.4.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$v = \frac{3}{20} \cdot - 20$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$v = \frac{3}{20} \cdot - 20$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$v = \frac{3}{20} \cdot - 20$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$v = \frac{3}{20} \cdot - 20$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $\frac{3}{20} \cdot - 20$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Factoriza $20$ de $- 20$ .

$v = \frac{3}{20} \cdot (20 (- 1))$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$v = \frac{3}{20} \cdot (20 \cdot - 1)$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 3.4.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$v = 3 \cdot - 1$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$v = 3 \cdot - 1$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$v = - 3$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$v = - 3$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$v = - 3$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$v = - 3$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

$v = - 3$

$u = 4 + \frac{2 v}{3}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $v$ por $- 3$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $v$ en $u = 4 + \frac{2 v}{3}$ por $- 3$ .

$u = 4 + \frac{2 (- 3)}{3}$

$v = - 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $4 + \frac{2 (- 3)}{3}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$u = 4 + \frac{- 6}{3}$

$v = - 3$

Paso 4.2.1.2

Divide $- 6$ por $3$ .

$u = 4 - 2$

$v = - 3$

Paso 4.2.1.3

Resta $2$ de $4$ .

$u = 2$

$v = - 3$

$u = 2$

$v = - 3$

$u = 2$

$v = - 3$

$u = 2$

$v = - 3$

Paso 5

Enumera todas las soluciones.

$u = 2, v = - 3$